character table 지표 표에 대해 알아봤습니다.
지표 표에서 행 즉, 가로줄은 각각 기약(irreducible representation) 표현이라고 한다. 기약 표현에 있는 캐릭터! 지표의 성질에 대해서 위와 같이 7개 정도 얘기할 수 있다.
1. order(h) 그룹의 차수는 즉 그룹 구성원소인 대칭조작 sym op의 개수다.
ex) C2v 그룹에는 sym op가 E, C2, sigma v, sigma v' 4개가 있다. C2v 차수는 4다
2. class : 캐릭터 테이블에서 열에 해당하는 것이다. 그룹 내에 class가 있고 어떤 경우는 클래스 내에 원소가 하나밖에 없고, 어떤 경우는 한 클래스 내에 두 개 이상 여러 개의 원소 sym op가 있다.
ex) C3v에서 두 개의 C3가 같은 클래스, 3개의 sigma v가 같은 클래스에 속한다. 캐릭터 테이블에서 하나의 열, 컬럼이 클래스에 해당한다.
3. irreducible representation 수와 클래스 수가 같다. C2v그룹에서 irredtucible rep가 A1, A2, B1, B2 4개가 있따. 클래스도 symmetry operaion 4개가 각각 서로 다른 클래스에 속하기 때문에 E, C2, sigma v, sigma v' 이렇게 4개가 있다. 행과 열의 개수가 같다.!!!
4.dimensions을 제곱한 것의 합은 = 차수(oreder, h) h=∑i[χi(E)]2
기약표현 irred rep 의 dimension이 1이면 동등조작 E인 캐릭터 조작이 1이다.
C2v 포인트 그룹에서 보면 E에 대한 캐릭터 값이 1이다. dimension도 1차, 2차 3차도 있고, 차수(order)도 1차, 2차, 3차 등 이 있어 헷갈릴 수 있다.
dimension이 다 1 차인 경우 dimension을 제곱해서 다 더하면 4로써 이 그룹의 차수인 4와 같다~! 즉, dimension은 irred rep의 dimension이고 동등조작 E에 대한 캐릭터 값이다. 캐릭터 값이 1이면 dimension은 1, 캐릭터 값이 2 이면 dimension2이다. 밀리컨 심볼이 E, 디멘션이 3이면 T가된다. 이것들을 제곱해서 더하면 그 결과가 그 그룹의 차수와 같다.
5. 각 클래스에 있는 sym op에 있는 개수가 곧 nR인데, 이것과 캐릭터를 제곱한 것을 곱하면 ( χi(R)에 있어서 R은 sym op을 얘기하는 것이다. )즉, 특정한 op R에서의 캐릭터 값을 제곱해서 더하면 h=∑RnR[χi(R)]2 된다. 어떤 클래스는 sym op1개 있고 어디는 2 개 있고.... 이럴 때 2C3, 3 sigma v 등이 곧 nR에 해당된다. nR에다가 2C3에서의 캐릭터 값을(모든 sym op에 대해) 제곱해서 다 더하면 그 결과도 그 그룹의 차수(h)와 같다.
6. orthogonality(직교성) irred rep 캐릭터 테이블에서 서로 다른 행들은 각각 독립된 기약 표현(irred rep)인데 이들은 서로 직교성을 갖는다! 직교성을 갖는다는 것을 수식으로 나타내면 아래와 같다.
즉 i와 j가 다르다는 것은 서로 다른 irred rep라는 것! 그랬을 때 서로 다른 irred rep의 캐릭터를 각각 곱해서 전체(모든 sym op)를 합치면 그 값은 0이 된다는 것! 곱해서 더할 때는 그 sym op에 몇 개의 클래스의 몇 개의 sym op이 있냐는 nR을 넣어서 계산해야 한다.
7. a totally symmetric rep (완전 대칭 표현) 모든 포인트 그룹에 캐릭터 테이블 보면 완전대칭표현 하나가 있고 제일 위에 있다.
모든 캐릭터 값이 1 111...인 기약 표현이다. 반드시 하나 존재한다.
C2v의 예는 아래와 같다.
1. C2v에는sym op(구성원소)가 4개가 존재하므로 차수는 4다.
2. 클래스는 캐릭터 테이블에서 열, 컬럼에 해당한다. C2v에서는 각 sym op가 독립된 클래스에 속하고 4개 갖는다.
3. 클래스와 ireed rep! 행과 열의 개수는 같다. 즉 4개의 클래스와 irred rep가 있다.
4. irred rep의 dimesions 제곱의 합은 4로 차수와 같다. 4개의 ireed rep 모두 A1,A2,B1,B2로써 E에 대한 캐릭터 값이 1로 dimension이 1이고 제곱해서 더하면 그 값은 4가 되고 그룹의 차수.
5. C2v에는 4개의 irred rep가 있는데 각각 4개의 irred rep 에 있어서 A2경우 위와 같다. 모든 다른 irred rep도 마찬가지지만 4개의 sym op에서 E,C2, sigma v, sigma v'이 nR값이 1이다. ( '1'은 생략가능) 생략 안 하면 nR을 곱해야 한다. 생략해서 χi(R)2만 한 것이다. A1,A2,B1,B2 모두 4가 나온다.
6. irred rep은 서로 직교성이 있다. B1과 B2는 orthogonal 하다.A1,B1도 A1,A2도 다 직교성하다.
orthogonal을 보이려면 식을 써서 증명해야 한다. nR이 1이면 생략가능!!
B1의 경우는 4개의 sym op가 1 -1 1 -1 이고 B2는 1 -1 -1 1으로 서로 곱해서 더하면 0이 되므로 orthogonal 하다!
7. 완전 대칭표현! C2v에는 A1이 모든 캐릭터 값이 1이다. 제일 위에 있다. 밀리컨 심볼은 포인트 그룹에 따라서 A1, A1g로 나타날 수 있지만 캐릭터 값이 모두 1로 완전 대칭한 것을 볼 수 있다.
C2v 대표적인 분자는 H2O가 있다.
(xyz)를 기저함수로 해서 matrix rep하면 E는 아무것도 안한 것이니 100, 010, 001 이고, C2는 z 축은 가만히 있고 x,y 축이 반대로 되니 -100,0-10, 001이 된다. sigma v(xz)는 xz 축은 그대로 있고 y축만 바뀌고 sigma v(yz)는 x 값만 바뀐다.
이런 3x3 matrix는 reducilbe(약분)이 될 수 있는 matrix다. 약분은 군론을 더 깊이 있게 배워야 하고, block diagonalization이라고 대각선을 따라 구역(block)을 정해 구분하는 형태다. 대각선 상에만 값이 있고 각각 따로 구역(block)을 지정할 수 있다. 다 합치면 3, -1, 1, 1등이 된다.
y, z, x 각각 기저 함수에 따라 얻어진 값들은 같은 줄에 존재한다.
클래스가 4개니 기약 표현도 4개가 돼야 한다. 또 다른 기저 함수를 보면 Rz의 경우 E와 C2에는 symmetric 하지만 sigma v 에는 -1로 antisymmetric하다. 2차 함수로 xy해보면 똑같이 보이고, xz, yz는 각 해당하는 줄(B1,B2)값처럼 캐릭터를 갖는다. 상세히 알 필요는 없지만 이런 기저 함수의 경우 이와 같은 캐릭터를 가지면서 서로 다른 4개의 기약 표현이 얻어졌다.
C3v 그룹은 3개의 클래스와 3개의 기약 표현이 있다. (3개의 행렬)
A1 1,1,1으로 완전 대칭이 제일 먼저 있고, 기저 함수가 z 이고, A2는 기저 함수가 Rz(z축으로 회전)이고, E는 동등조작에 대한 캐릭터 2니까 그에 해당하는 밀리컨 심볼이 더블리디제너레시?로 2로 나타내고 기저 함수가 쌍으로 (x,y)등 필요하다. 2차 함수도 두 개가 한 쌍으로 존재한다.
C3v 그룹의 7가지 규칙을 보면
1. 차수는 E, 2C3, 3 sigma v로 총 6!!!
2. 3개의 클래스 E, 2C3, 3sigma v로 3개가 있다.
3. 기약표현의 개수는 클래스의 개수와 같으므로 3(A1, A2, E)개 있다.
계속 나오고 있지만 기약 표현 밀리컨심볼 E가 있는데 sym op에서 동등조작 E로 헷갈릴 수 있는데, 어떤 E인지 구분 할줄 알아야한다.
4. 기약표현 dimension 제곱하여 다 더하면 차수다. A1,A2은 1이고, E는 2차 표현으로 dimension이 2로 제곱해서 다 더하면 6이다.
5. 각 기약표현에 있어서 서로 다른 sym op의 캐릭터를 제곱해서 더하면 그것이 차수인데 같은 클래스의 여러 개의 sym op이 있으면 nR을 곱해줘야 한다. 그림에서 1은 생략, 2, 3은 곱해져있다. E 의 캐릭터 값은 2, -1, 0이다. nR을 곱해서 제곱하면 6임을 볼 수 있다.
6. orthogonal은 세 개의 기약표현이 있는데 서로 서로 orthogonal함을 보여야 한다. Ex) A2 와 E 사이의 orthogonal을 보이려면 A2 X E: (1)(2) +2(1)(-1)+3(-1)(0)=0 처럼 보여야한다. (nR이 곱해져야 한다.)
C3v 간단한 포인트 그룹인데 더 복잡한 그룹 보면 계산이 길어지고 어렵... 그러나 같은 결과를 보여준다. 모든 캐릭터 테이블에서 서로 다른 irred rep은 orthogonal 하다! 같은 컬럼 내에 있는 sym op에 대한 캐릭터를 곱해서 다 더하면(nR도 곱하고) 0이다.
7. 완전 대칭 표현으로 모든 캐릭터가 1인 A1이 있다.
symmetry와 group theory의 활용 응용에 대해 볼 것이다. 분자궤도함수(MO)를 이론 배우기 위해 군론이 필요하다. 또 분자 진동에 있어 군론(group theory), sym op을 구성원소로 하는 그룹의 그게 곧 포인트 그룹이고, 포인트 그룹의 군론을 적용하여 설명한다. 그런데 직접적으로 응용을 하는데, 간단하게 카이랄를 판단하는데 대칭성 내지 포인트 그룹을 활용할 수 있다. 키랄성은 유기화합물에서 많이 얘기를 했는데 어떤 분자가 키랄성이다라는 것은 거울이미지가 겹치지 않는것! (왼손 오른소같은 관계! 미러이미지 지만 겹쳐지지 않는 것! 장갑 왼손 오른손 따로 있듯... ) 흔히 키랄성 유무는 그 물질이 거울면 symmetry를 갖고 있는지를 일반적으로 물어보는데 조금 아쉽다. 명확히 어떻게 정의할 수 있냐면, 대칭성이 있지만 Sn symmetry가 없어야 키랄성이 있다 (S1=sigma S2=i) -> dissymetric! (대칭성이 전혀 asymmetric과 다르다.) Sn이 아예 없어야만 미러 이미지가 서로 겹쳐지지 않고 카이랄성이 있게 된다. 이런 카이랄리티 있는 물질의 특징은 광학 활성을 나타낸다. Sn symmetry가 없는 경우는 '분자가 어떤 포인트 그룹에 속하는지' 보면 알 수 있다. 카이랄 하다는 것은 광학적으로 활성인데 이런 포인트그룹( C1, Cn, Dn )이 있고 이 그룹을 제외한 나머지는 카이럴이 없다.
위 사진은 카이랄성 있는 것들이다. 루세늄 에틸렌다이아민(en)은 위 그림처럼 고리로 나타낸다. 메탈에 상관없이 [M(en)3]n+ 경우는 D3으로 카이랄하다. 미러이미지를 보고 서로 겹쳐보려면 겹쳐지지 않는다.
카이랄한 분자는 광학 활성을 나타내는데, 이 광학 활성은 위와 같이 도식화해서 확인할 수 있다. 보통 Light source는 Unpolarized light(편광)이 아니다. electric fild, magnetic fild가 모든 방향으로 진동할 수 있는 형태이다. 편광필터(polarizing filter)로 아래 위로 진동하는 빛만 지나갈 수 있게 해준다. 위아래로만 진동하는 빛이 광학활성 물질이 녹아있는 용액(optically activve soultion)을 지나게 되면 광확활성 물질과 편광이 인트랙션 해서 원래 아래위로 진동하는 게 비스듬하게 진동하게 각 돌아간다. 진동 방향(얼마나 바뀌었는지 ORD)과 진폭(아래 위 폭 얼마나 일그러지느냐!CD)을 측정한다! 이 돌아간 각도를 형광 필터와 기기를 사용하여 측정한다. 광학활성 물질이 얼마나 광학활성 나타내는지 측정하는 건 ORD , CD를 이용해서 optical active 한지, 카이럴인지를 알아낸다.