무기화학 군론 [Symmetry and Group Theory] #10

대칭과 군론에 대해 배우겠습니다.

3장에서 간단한 결합 이론 배우고 다음은 분자 궤도함수 이론인데, 바로 분자 궤도함수로 안 가고 대칭과 군론을 거쳐 가는 이유는 먼저 이 부분을 알아야 분자궤도함수 이론 내용을 이해할 수 있다. 물론 일반, 물리화학에서도 배웠지만 이 챕터에서 상세하게 배울 것이다.

우리 주변에서 대칭성이 있는 물체나 건축물들을 볼 수 있다.

맞잡은 손, 야구공, 이어 붙인 주사위들, 자전거 휠, 에펠탑 등등에서 대칭성을 관찰할 수 있습니다.

- 마주 잡은 손은 가운데 지점을 통해 화면일 관통하는 축을 따라 180도 회전을 하면 같은 모양이 반복되는 C2회전축?이 있는 것을 알 수 있다. 미러플레인, 인벌전 센터? 등은 없지만 C2 회전축이 있는 것을 알 수 있따.

- 에펠타워는 그림상 가운데 아래 면이 정사각형이고 첨탑 꼭대기에서 사각형 중심 쪽으로 내린 축을 기준으로 돌렸을 때 90도마다 같은 모양이 되는 C4회전축이 있는 것을 알 수 있다.

- 야구공의 경우 점을 기준으로 돌리면 C2 회전축이 될 것이다. 야구공을 가로지르는 면이 미러플레인이 될 것이다. 이런 대칭성을 찾아내는 능력을 키워야 한다.

- Atomium은 가운데 회전축을 기준으로 회전하면 같은 모양이 3번 반복하는 C3회전축임을 알 수 있다.

- 자전거 휠은 Cn회전축이 상당히 큰 숫자일 것이다.

이런 대칭성을 찾아보다 보면 실제 우리가 다루는 분자의 대칭성을 찾아내는데 많은 도움이 된다. 책 뒤에 연습문제에서 주위에서 볼 수 있는 물체나 디자인 로고 등에서 대칭성을 찾을 수 있다. 미적인 것과도 관련이 있어 디자인하기도 한다. 어떤 분자가, 어떤 대칭성을 갖고 어떤 그룹에 속해 어떤 물리적 성질을 나타내는지 이해해야 한다. 2차원 적인 화면이나 종이에 그려진 것들의 대칭성을 찾을 때 3차원 입체라고 가정을 하고 대칭성을 찾아야 하는 어려움이 있다. 계속해서 훈련, 연습을 통해 능력을 기르자.

대칭성은 대칭요소와 대칭 조작으로 구분할 수 있습니다.

- 대칭 요소(symmetry element): 어떤 면, 점, 축이 됩니다.

: 어떤 물체나 분자가 대칭요소를 갖고 있으면 물체나 분자 내의 면이 미러플레인, 점이 반전 중심, 축이 회전 축이 됩니다.

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- 대칭 조작(symmetry operation): 대칭요소를 기준으로 대칭성을 나타내는 것! 반사, 반전, 회전 등 동작 행위에 해당하는 부분이다.

: 대칭요소를 기준으로 해서 대칭을 실제 행하는 행위가 대칭 조작이다. 보통 대칭성 있다고 하면 대칭 요소를 가지고 대칭성 있다고 말하는데.... 그룹이 되기 위한 요건이 있는데 대칭성 가지고 그룹을 만들 때 대칭 조작이 그룹의 원소가 됩니다.

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어떤 대칭요소 미러플레인이 있을 때 그에 따라 생기는 대칭 조작은 하나 반전중심 !있다. 등등 이렇게 얘기할 수 있다. 회전축이 하나 있을 때 여러 대칭요소가 있을 수 있다. C4회전축은 90도 돌릴 때마다 같은 모양이 반복되면서 360 한 바퀴 돌면 같은 모습이 4번 반복됩니다. 처음 90도 돌릴 때 대칭 조작과, 한 번 더 돌리면 180, 한 번 더 270,완전히 돌려 360도 될 때 이 대칭 조작이 다 다른 대칭 조작이 됩니다. C4-1,2,3,4가 나타난다. 즉 C4에는 4개가 가능하다.C4의 경우에는 원래 자기 모양으로 돌아오기 때문 C4의 고유한 대칭 조작이라 하기 어렵다.

반사 대칭 조작. 반사조작 (Reflection)

반사는 대칭 요소로써 거울면, 대칭면이라고 한다. 면에서 나타나는 대칭요소는 거울면이다. 대칭요소에 대한 대칭 조작이 반사이며 기호로는 σ로 나타낸다.

Sigma v, h, d로 구분할 수 있다. 그룹 이론 얘기할 때 서로 다른 미러플래인에 대한 대칭 조작이 나오고 경우에 따라 여러 개의 Sigma v 가 있을 수 있는데 σ', σ'' 프라임을 통해 표기한다. xyz 축상에 나타나는 미러플래인은 xy평면이 미러플래인이면 σxy로 표기한다. 어떤 xyz 좌표에서 σxy미러플래인을 적용하면 xy의 좌표값은 변함이 없지만 z는 -로 부호가 바뀐다. 이런 리플랙션을 할 수 있는 미러플래인을 갖는 물체는 a), b)처럼 있다. 모든 사람이 대칭을 잘 갖는 건 아니지만 대략적으로~ 저런 대칭성이 있다. 옷도 양쪽 똑같은 주머니와 !!! 이런 점들은 가정.... ㅎㅎ 연필은 세 개의 거울면이 위와 같이 여러 개가 나올 수 있다.

6개가 있음으로 인해서 3개의 거울 면과 정확히 나오지 않았는데 모서리를 따라 나오는 거울면이 추가로 있을 겁니다.(표현 안 되어 있음)

반전(Inversion)

대칭중심, 반전 중심!으로 대칭 조작하는 게 반전이다. xyz축을 반전하면 모든 부호가 반대로 된다.

이런 반전 중심 대표인게 에테인(stgged)이다.

CC결합 중심에 해당하는 곳에 반전 중심이 있다. C와 C가 반전 바뀌고 H1, H6가 반대로 바뀌고 H3,4가 서로 바뀌고, H2,5가 서로 바뀌게 된다. 메테인 분자의 경우 당연히 센터 inversion이 있으려면 C에 있어야 하는데 C 모양에 대해 반전시키면 수평이동하여 오른쪽과 왼쪽 모양과 겹쳐지지 않는다. 수평이동을 해서 둘이 겹쳐져야 하는데 겹쳐지지 않는다. 물론 에테인 경우 어떻게 서로 바뀌었는지 알기 위해 수소에 번호 붙인 거지 실제 번호가 없는데, 그러니 번호와 상관없이! 같은 수소로 배열이 되면 위 에테인 분자는 서로 이동하면 겹치고! 똑같은 모양이다. 메테인 경우 오른쪽의 모양을 가운데 C를 기준으로 180도 회전을 해야 같은모양이 되기 때문 서로 다른 모양이다.

inversion center가 있는 모양과 없는 모양이다. (a)는 다 있고, 정사각형 중심, 직사각형 중심, 사다리꼴 중심, 직육면체 중심, 팔면체 중심 등이 반전 중심이 되지만 (b)의 삼각형, 사면체, 오각형의 경우 반전 중심을 시행하면 모양이 뒤집어져서 같은 모양이 아닌, 반전 중심이 없는 형태다!

회전(Rotation) Cn

회전은 반사 회전(improper rotation)과 일반 회전(proper rotation,Cn)이 있다. 회전은 대칭요소가 회전축이고 회전축을 기준으로 Cn이라고 했을 때 2π/n이라하고 만약 C4면 2π/4면 즉, 90도 마다 같은 모양이 반복된다. Cn회전축을 n-겹 회전축 (n-fold axis)라고 한다.

CHCl3 경우 CH를 기준으로 위에서 내려다봤을 때 (top view) 120도 돌려 나타나는 C3회전축이 있는가 하면 240도 돌려 나타나는 C32가 있다. 완전히 한 바퀴 돌린 C33는 자기 모습 그대로 돌아오기 때문 고유한 대칭 조작이라고는 보기 어렵다.

- snowflake에서 표에서처럼 C3는 C62(약분)이다.C66 은 =E 로 동등 조작이라 한다.

- 탄탈륨이 중심에 있고 보론이 10개 둘러싸고 있고 TaB10 는 C10 회전축이다...?

Improper Rotation (Sn)

로테이션과 리플랙션이 연속해서 일어나서 로테이션 - 리플렉션이라고(회전(회영) 반사) 한다. 회전 반사는 (Cn ·σh) Cn에서 나타나는 2pie/ n으로 회전시키고 회전축에 수직인 면으로 sigma h로 반사시키는 형태이다. 관례상 정의상 회전축은 z축 수직으로 세우고, 직교하는 면은 수평으로 horizontal 수평 미러 플래인(sigma h)이다.

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기호로 표기하면 "Sn =Cn ·σh " Cn 과σh 가 연속적으로 수행하다고 표현할 때 ·(dot)을 표기한다. S1=C1 ·σ 여기서 C1은 사실 360도 완전히 도는 것으로 아무것도 안 하는 것과 같다. 그래서 S1은 Sigma다. S2=C2 ·σ인데 C2에 직교하는 sigma를 하면 inversion high가 된다. S1, S2는 자기의 고유한 대칭 조작이 있는 게 아니라 Sigma(미러플래인 반사)와 i(반전 중심)이지 자기의 고유한 회전 반사가 아니다. 회전 반사 대칭 조작은 S3부터 자기의 고유한 대칭 조작이 됩니다.

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S4 회전 반사 축을 갖는 메테인 분자에 있어서 S4 대칭 조작이 어떻게 일어나는 보여준다. 메테인 분자는 사면체 기하구조로 정 육면체의 대각선으로 마주 보는 꼭짓점 두 개와 아래쪽에 마주 보는 다른 대각선 꼭짓점 두 개로 사면체 기하구조이다. 탄소는 정 육면체 중심에 있다. 마주 보는 두 사면체를 관통하는 축이 C2회전축이면서 동시에S4 회전축이다. S4를 수행하면 H1,2 기준으로 봤을 때 90도 C4를 돌리면 두 번째 그림이 될 것이다. 여기에 C4축에 직교하는 σh 플래인을 반사시키면 H1,2가 밑으로 세 번째 그림이 될 것이고, 첫 번째, 세 번째 그림과 같아진다. 두 번째 S4를 해서 다시 90도 바뀌면 다섯 번째 되고 σh 플래인을 반사시키면 여섯 번째 될 것이다. 그랬을 때 또한 여섯 번째, 첫 번째 같은 모양으로 S42로써 같은 모양 반복되고 S42는 첫 번째에서 여섯 번째로 바로 가면 C2가 된다. 즉, 180도 돌리면 H1, H2가 자리 바꾸는 것이다. S4는 고유한 대칭 조작이 되는데 S42는 C2가 되는 것이다. S43도 고유한 회전 반사 대칭 조작이 되지만, S44는 360도 돌려서 자기 원래 모양 돌아오는 동등 조작 E로 된다.

동등 조작 (Identity, E)

아무 변화가 없는 그대로 있는, 대칭성이 없는 그런 경우도 다 있는, 모든 분자들이 다 갖고 있다. 동등 조작은 나중에 그룹 이론을 할 때 필요하다. 덧셈에 있어 '0', 곱셈에 있어 '1'이 갖는 역할! 아무것도 안 하는 거 원래대로 돌아오고 그대로 있는?역할 한다.

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반사(σ), 반전(i), 회전 (Cn), 회전반사(Sn), 동등(E) 이 5가지 종류의 대칭 조작이 있다.

- 미러 플래인 기준으로 리플렉션 리플렉션 하면 동등이 된다. 닷은 연속적인 행위를 말함

- 반전 반전하면 동등!

- C1은 360도니 그냥 동등이고, Cnm의 역은 Cnn으로 동등이다

- 회전 반사가 n이 짝수인 경우 회전처럼 회전 반사도 연속적으로 해주면 되지만

- 회전 반사가 n이 홀수일 경우 n-m을 하면 안 되고(Sigma가 된다.), 2n-m을 해야 한다.

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대칭 요소와 대칭 조작들을 갖고 있는 분자 화합물들이다.

- 아무 대칭성이 없는 예는 CHFClBr있다. 이런 경우는 모든 분자가 갖는 E 동등 조작은 있다.

- 회전 대칭 중 p-dichlorobenzene은 C2회전축 암모니아 C3회전축 등... 회전축의 예시를 보여준다.

- 물 분자의 경우 Sigma 미러 플래인 두 개가 나타난다. O만 포함하는 면, O H 포함하는 σv,σv'으로 표기한다.

(C2회전축이 있기 때문에 C2회전축을 포함한 수직으로 서있는 미러 플래인이라 버티컬이라 σv라고 했다.)

- 반전을 갖는 경우 페로센! Fe 중심에 inversion이 있다.

- 메테인의 경우 S4가 나타나는 것을 앞에서 봤다..ㅎㅎ

- 에테인 경우 가운데 돌아가는 축이 C3 회전축이면서 S6 회전반사축이 된다.

- 페로센 가운데 축이 C5면서 동시에 S10회전 반사 축임 된다.

여러 symmetry 자료가 많은 ' http://symotter.org/ '이다. 여기서는 3D로 보여줘서 보기 편하다.